%2007/04/22 06:10 %Copyright 2007 WATANABE,Masayuki \documentclass[a4j,10pt,fleqn]{jsarticle} \mathindent=4zw \parindent=0zw \topmargin=0zw \headheight=0zw \headsep=0zw \oddsidemargin=0zw \evensidemargin=0zw \setlength{\textheight}{0.9\paperheight} \addtolength{\textheight}{-\topskip} \addtolength{\textheight}{-\headsep} \addtolength{\textheight}{-\footskip} \addtolength{\textheight}{-\topskip} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx} \pagestyle{plain} \def\dsum{\displaystyle\sum} \def\dlim{\displaystyle\lim} \def\dint{\displaystyle\int} \def\dprod{\displaystyle\prod} \def\tvec#1{\overrightarrow{\text{#1}}} \def\dvec#1{\overrightarrow{#1}} \def\MARU#1{{\ooalign{\hfil#1\/\hfil\crcr\raise.167ex\hbox{\mathhexbox20D}}}} \begin{document} {\large 京都大学 1995年 入学試験 前期理系数学 問題2}\\ \\ {\large 問題}\\ \\ $a$,$b$ は $a>b$ をみたす自然数とし,$p$,$d$ は素数で $p>2$ とする。 このとき,$a^p-b^p=d$ であるならば,$d$ を $2p$ で割った余りが $1$ であることを示せ。\\ \\ {\large 解答}\\ \\ $$a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=d$$ $d$は素数なので \begin{equation} \begin{cases} (a-b)=d\\ (a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=1 \label{c.1} \end{cases} \end{equation} または \begin{equation} \begin{cases} (a-b)=1\\ (a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1})=d \label{c.2} \end{cases} \end{equation} のいずれかにしか因数分解できない。\\ $a \geqq 2$かつ$b \geqq 1$,$p>2$なので \begin{equation} a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2+\cdots+b^{p-1}>a^{p-1}\geqq 2^2=4 \label{c.3} \end{equation} より(\ref{c.1})の場合はあり得ない\\ (\ref{c.2})の場合$a-b=1$より$b=a-1$\\ したがって $$d=a^p-b^p=a^p-(a-1)^p=(-1)^{p-1}\binom {p}{1} a^{p-1}+(-1)^{p-2}\binom{p}{3} a^{p-2}+\cdots+\binom{p}{p-1}a-(-1)^p$$ $\displaystyle\binom {p}{n} = \dfrac{p(p-1)\cdots(p-n+1)}{n!}(0 < n
2$は奇数なので$-(-1)^p=1$だから\\ $d$をpで割ったあまりは$1$\\ (\ref{c.3})より、$d>3$なので$d$は2より大きい素数であるから奇数である。\\ よって2で割ったあまりは$1$\\ 以上より$d=2n+1$かつ$d=mp+1$となる整数$m,n$が存在し$2n+1=mp+1$より$2n=mp$\\ しかし$p$は素数で$p>2$なので$n$が$p$で割り切れなければならない\\ つまり、$n=lp$となる整数$l$が存在する。\\ したがって$d=2pl+1$となり\\ $d$を$2p$で割った余りは$1$\\ \end{document}