なんとなく

東海道新幹線には何度も乗っているけれど
富士山を写したのは初めて
今日は快晴なので、横浜あたりから富士山が見えて、ふと写真を撮ってみようかと思い立ったのでした。
東京にいるうちに一度は富士山に登っておこうかな
なぜか、一部文字化けしていた、なんでだろう？

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数式を言葉で表現するのは書く側にとってはそれほど難しいことでは有りません。
逆に言葉で書かれたことを理解する方が難しいので、数式というものが使われるようになったのだと私は思っています。
だって、頭の中ではなんだかんだ言っても言葉で考えているわけで、別に数式で考えている訳では有りませんから。
また、私はもともと、数学といっても論理学を主にやっていたので数式はあまり使っていませんでした。
どうも日本語は論理的じゃないから日本人は論理が弱いなどと言う方がいるみたいです。
そういう方はたいがい英語はその点論理的だなどとおっしゃる。
しかし、日本語が論理的じゃないのは、その日本語を使っている人間が論理的じゃないだけで、別に言語の問題じゃないと思います。
確かに自然言語（日本語や英語を含む言語全般）は曖昧な事を表現できます。
しかしそれは人工言語（数式やコンピュータ言語など）にくらべてメリットであって、決して曖昧にしか表現できないという物ではないと思います。
曖昧にしか表現できないのは、言葉を使っているその人が曖昧にしか理解していない、または曖昧にしか考えていないからです。
前に、仕事の現場で、訳のわからない水掛け論を見たことが有ります。
責任者A氏：「その作業は簡単なのかね？」
作業担当者B氏：「いいえ、この作業は時間がかかります。」
A氏：「簡単な作業だと誰かが言っていたが」
B氏：「いいえ、簡単じゃありません」
A氏：「簡単じゃないというのはどう簡単じゃないんだ」
・・・
この二人の間で「簡単」という言葉が未定義のまま会話が進みます。
いつまでたっても、結論が出るわけがありません。
実はA氏は「１週間でできることは簡単だ」と思っていて
B氏は「３日もかかるんだから簡単ではない」と思っていたとすると
永遠にこの二人の会話からは何も実を結びません。
小学生が、「トラックは大きい」、「いいや（ジャンボより）小さい」という訳のわからない会話をしているのと全然違いがありません。
これを大の大人が言っているんだから頭がいたくなります。
形容詞特に比較を表す言葉は何に対しての比較なのかが明確でない場合全く意味をなさないというのがわかっていないのでしょうか？
また、むやみに最上級を使いたがる人もいます。
「絶対」とか、「最低」とかどちらも本当に絶対なのか？本当に最低なのか？とただすと、全然絶対でも最低でもないことが多いです。
自分を基準にとってすべてを計って、人も同じ基準を持っていると思ってしまうおこがましさがこの表現にはあふれています。
どちらにしても、言葉を曖昧にしているのは使っている本人であって、言葉の問題ではないと私は考えます。
そうでなければ、日本にきら星のごとく輝く数学者や科学者はなぜあんな論理的思考ができるのでしょう。
彼らだって考えているとき使っているのは母国語である日本語に違いないのですから

どうも数式を見ると、わけがわからんとおっしゃる方がいます。
確かに数式ってのは、訳がわからない代表としてよくテレビなどでも意味不明の数式を表示して煙に巻いたりします。
たとえば、悪名高い積分記号

これを見るだけで気持ち悪くなるって人、いるんじゃないでしょうか。
とりあえず意味はおいといて、この記号についてのお話です。
積分というのは足していくことなんだということは前にも書きましたが、このフニャっとした積分記号は元々アルファベットのSを引き延ばした物です。
この記号を考えたのはライプニッツというフランスの数学者で微分積分をニュートンとほぼ同時期に独立に考え出した人です。
で、なんでSなのかというと物を足し合わせるのをsumというのをご存じでしょう。
サマリー(summary)とかそういう使い方しますよね。
エクセルの関数で、有る範囲の数を足す関数がsumですね。
Sはこの頭文字を取ってきているわけです。
足すという記号には他にも前に出てきたのΣという記号もあります。
こちらは既にSが使われていた為に、ギリシャ語のSに当たるΣを持ってきてそれを足し算の記号につかった訳です。
他に、Πという記号はご存じでしょうか？
これは、ある連続する数列を全部掛け合わせる時に使う記号です。
ΠはアルファベットのPに当たるギリシャ文字で、かけるという意味のProduceの頭文字を取ってきたものなのです。
これから数式を見ても、これはSという文字をのばした物なんだなぁ、だから足すっていう意味なんだとか、
Σは英語のSなんだなとか
という感じで見てもらえるとちょっとは数式にも意味が見えてくるのではないでしょうか。
じつのところ、楽譜のト音記号（これはGの変形ですね）とたいした変わりは無いと思ってもらえれば少しは親しみやすくなりませんか？
私にとっては楽譜の方がよほどたくさん約束事があって、訳のわからない記号の羅列なんですが
楽譜を見ると気持ち悪くなるって人あまりいませんよね。
やっぱりこれは学校教育の弊害なんでしょうか・・・

今回はタンジェントから入りたいと思います。
さて、車を運転される方、そうじゃない方も含めて、坂道で、6%の勾配とか、3%の勾配とかそういう表現をご覧になったことがあるでしょう。
無い？
そういう方は身近な坂道に行って、標識を探してみましょう。
さて、その勾配の6%とかというのは何を意味しているかご存じでしょうか？
運転免許を持っている方は当然ご存じですよね。　　って、もしかして運転免許試験にはそんなものは出ない？
まぁ、それはいいとして、
これは、水平方向に１００ｍ進んだとき何メートルあがっているかということを表しています。
つまり勾配6%の坂というのは、水平方向に100mすすむと6m上昇するということです。

こういう坂です。（この図では、100mと比べて、6mが大きく書かれています）
この6%つまり0.06というのがタンジェントの値なのです。
タンジェントというのは、直角三角形の底辺と高さの比のことですから、まさにこの値そのものです。
ちなみに、6%という勾配つまりタンジェントが0.06になる時の角度は、約3.4度です。
手近に分度器が有ったら見てみてほしいのですが、3.4度ってものすごく小さい角に見えませんか？
6%の勾配というのは結構きつい勾配ですよね、それが角度に直すとたった、3.4度ということにちょっとびっくりしませんか？
ほらこんな所にタンジェントの値が使われている。(^^)
ですから、もし45度の坂が有ったとすると（そんな坂は崖にしか見えませんが）勾配は100%となります。
30度の坂はいくらでしょう。
タンジェントをtanと書きますね。
tan 30度 = 0.577、つまり、勾配58%の坂ということになります。
すごい坂であるということがわかってもらえたでしょうか
車の取扱説明書があれば、見てみてください。
最大登坂能力という表記が有ると思います。
要するに最大何度の坂を上れるか？という数値なのですが
これがタンジェントで表されているはずです。
たとえばこれが、０．６とかなっていた場合、tan θ＝0.6ですから　３０．９度の坂まで上れるということになります。
（θ　は　シータ　と読んで、角度を表すのによく使われるギリシャ文字です）
ちなみに英語のアルファベットに直すとＴになります。
コサインというのはどこで使われているでしょう。
普段webなどをご覧になっているとき、JPEG形式の画像がたくさんあるのはご存じでしょう。
JPEGというのは、Joint Photo Encoding Group の略ですが、これはおいといて
このJPEG圧縮というのはおおざっぱにいって、イメージを、いろんな波長の波の合成とみて、どういう波長の波が合成されているかでデータを表現し圧縮する方法です。
その計算の中で、DCTという演算が行われます。
これが、 Discrete Csine Tansform（ディスクリートコサイントランスフォーム）といって、日本語では離散コサイン変換と訳されています。
波とみるから、コサインが出てくるんですね。
ほら、こんなところにもコサインが使われている。
他に、フーリエ変換というのを聞いたことが有るでしょうか？
これは無いかな？
フーリエ変換というのは、ある周期を持った波（正弦波ではないもの）をいろんな周期の正弦波の合成に分解する方法です。
実はこのフーリエ変換を高速に行うアルゴリズム（計算法）にFFT（高速フーリエ変換）というものが存在し、それが皆さんおなじみのMP3の音楽データ圧縮の中で用いられています。
つまり、FFTを行うと、音を周波数成分に分解できて、その成分から、聴覚上聞き取りにくい成分（周波数）を省いてデータを作ることで、元のデータに比べて圧倒的に小さなデータを作り出すことができるのです。
最近の音楽データ編集ソフトの中には、FFTを用いたグラフィックイコライザ機能を搭載したものもあるみたいですね。
音域を５１２分割とかして、そのそれぞれの音程のボリュームを調整できたりするみたいです。
通常のグラフィックイコライザだともっとおおざっぱな範囲でしか調整できないですが
ということで、波のあるところにサイン、コサインありというのは言えるンじゃないかと思います。

さて唐突にグラフが出てきて面食らった方もいるかもしれません。
このグラフは、一般にサインウェーブと呼ばれているものです。
横軸に角度、縦軸にそのときのサイン(sin)の値を取った物を、-720度から720度まで描いた物です。
この絵はいろんなところでご覧になったことが有るんじゃないでしょうか。
さて、このサインは一体どんなところで使われているというのでしょう。
まず、第一に家庭のコンセントが交流であることはご存じだと思います。
交流というのは一定の時間間隔で電流の正と負が切り替わっているものです。
関西では、60Hz、関東では50Hzというのは古い方はご存じでしょう。
最近、この周波数に依存した家電製品がほとんど無くなった為、あまり気にする必要が無くなりましたが、昔の家電製品の一部には、これが違うとおかしな動作をする物なども有りましたから。
そうそう、文章の口調が、である調から、ですます調に変わったことに気付いた方もおられるかもしれません。
テーマが微分積分から、サインコサインに変わったということを表しています。
なんでやねん＞自分
特に意味は有りません。
只、ふと書き始めたら、ですます調だったというだけです。
さて、それでは、続きをかいていきます。
話は突然サインウェーブから、家庭のコンセントに飛んでしまいましたが、これには意味があります。
前に、微分の所で発電機の話を書きましたが、変圧器というのをご存じでしょうか。
一番身近には、ACアダプター、ちょっと離れて電柱の上にある、円筒形の物体、もっと離れると、変電所というでっかい施設にあるでっかいもの
要するに電圧を変換するために用いられる物です。
ちなみに、日本の家庭用電源は、１００Vとなっていますが、電柱の所までは6600Vで来ていて、電柱の変圧器で１００Vにまで落としています。
また、変電所では、元々50万Vか27万5000Vの電圧を、変電所をいくつか経由して6600Vに落としています。
さて、この変圧器という機器は何か？
内部は主に二つのコイルが重なって巻かれているトランスというものです。
このトランスというのは交流の電流が流れると、その巻き数に応じて別の電圧にして出すことができるものです。
そのとき、元の電圧の変化の割合（増加や減少の仕方）に応じて、出てくる電圧が変わります。
つまり、元の電圧が200Vの交流で、出てくる電圧が100Vだとしたします。
（ちなみに交流の場合、100Vといううと、最大電圧が100Vの様な気がしますが、実際は実効電圧を表しているので、最大の電圧は約141Vですが、ここではわかりやすく最大の電圧を100Vとして話を進めます）
瞬間瞬間の電圧を見てみると、元の電圧が＋200Vとなったとき、出てくる電圧は0（この瞬間は電圧が変化しないから）元の電圧が0の時、出てくる電圧が100V（電圧が０のところで最も激しく電圧が変化しているから）という風に二つの波が相互にずれた形で流れていく事になります。
さて、このとき元の電圧が電池を入れ替えるように、+200Vから、-200Vに一気に変わったとしたらどうでしょう。
出てくる電圧は、元の電圧が変化しない間は０のままで、切り替わるときに急に変化するので、とんでも無い電圧になって出てきてしまいます。
これでは、とっても不便です。（雷が毎回落ちているようなもの）
そこで、電圧の変化は０Vに最大となって、±200Vの時変化が最も少なくなるように徐々に変化の仕方が変わるようになっている訳です。
では、それにはどういう波が適当でしょうか？
答えから言うと、それがサインウェーブ（正弦波）です。
つまり家庭用のコンセントから出てくる交流電源は、サインウェーブだったのです。
ちなみに、上のトランスの入力と出力を同じ時刻で表示すると、実は出力側がコサインウェーブになっているんです。
これは実は前に書いた、微分しているというのと同じことなのです。
つまり、サインを微分するとコサインになります。
同様にコサインを微分するとサインの反転（プラスマイナスが逆）になりもう一度微分すると、ちょうど180度ずれたコサインになり・・・
と永遠に同じ形がずれた状態で続きます。
これが、電力の供給の際にサインウェーブである理由です。
つまり何度変圧器を通しても、波の形が変わらないというとても優れた特性が有ります。
サインウェーブは至る所で、基準となる波として使われています。
たとえば、時報の音ポ、ポ、ポ、ポーンも正弦波です。
ちなみにポ、ポ、ポの部分が440hz（ピアノの中央のラ）　ポーンの部分は880Hz（１オクターブ上のラ）となっています。
他にも音叉（楽器の音程を合わせるために使われるもの）の音
等々、身近な至る所に正弦波はあふれています。
次回は、タンジェントを中心に・・・
また別の観点からサインコサインを見てみたいと思います。

これ以上数式書いても読めないといわれてしまったなぁ。
数式といっても、積分記号も出してないんだけど・・・
とりあえず、実際の生活でどういう風に使えるかという話を書きたかっただけなので、積分の話はこの辺にして、微分て何という話をしたいと思う。
前にも書いたけれど、教科書的には微分から入ってその逆演算として積分を持ち込むというやりかたをしているのだが
実は、微分と積分というのはもともと関係ないところから始まったということを理解してもらいたい。
もちろん微分、積分は密接に関係しているということを否定しているわけではなく、もともとは別の物として考えられたということ。
さて、微分の話にはいるとき、一般的に使われるのがやっぱり速度
ご存じの通り、自動車などには、いろいろなメーターがついている。
その中で、どんな車にもかならずスピードメーターとトリップメーターが有ると思う。
この二つが表現していることがそのまま、微分と積分である。
車が発進すると、スピードメータが徐々に動いて、現在の速度を表している。
しかし、速度ってなんだろう？
速度は、距離÷時間　であるというのは小学校の知識で、誰しも疑問を感じることはないだろう？
しかし、では、スピードメータが表示している速度というのはなんだろう。
良く考えると不思議なものだと思わないだろうか？
速度を出すためには距離と時間が必要なはずだけど、有る時点の速度となると、その時間も距離も0になってしまって速度は０÷０となってしまう。
０で割ってはいけません。というのは小学校の時に習うお約束で、当然１を０で割ることはできない。
なぜなら、０はいくら足しても、何をかけても０だからいくらがんばっても１にはならないからだ。
では、０÷０はどうだろう。
０に何をかけても０だから、０÷０＝５でも、０÷０＝３でも全然困らない。
そこで、数学的には０÷０は不定と言ってしまって、これは演算できない事になっている。
しかし、それではその時点の速度というものが出せないことになってしまう。
でも実際に車のスピードメータには速度が表示されているじゃないか。
これはどういうわけなんだろう。
実はこの０がとーーーっても小さいけど、０ではないとしてみると
たとえば、0.000000000000003÷0.000000000000001だったら答えは違ってくる。
これは明らかに３になる。
つまり車のスピードメータというのは有る瞬間ではなく、ある短い時間の速度を表していると考えればつじつまが合ってくる。
じつは、これが微分の考え方そのものである。
つまり、ある変化する値の変化の仕方を、細かく細かく見ていくと、有る一定の変化率に近づいていくとき
その瞬間の変化率をその値の微分係数という。
と定義しているわけである。
風速20mとかいう表現が有る。
普通、速度をいうとき当然その移動距離を前提にして考えていると思う。
つまり、時速100kmだったら、1時間で100kmすすむんだ・・って感じで
しかし風速２０ｍというときの２０ｍはなんだろう？
誰も風が１秒後には20m先にいるとは考えていない。
思っているのは、風速２０mの風はつよいなぁ、風速40mだと立ってられないよなぁという、強さという感覚で捉えていると思う。
つまりこれが微分である。
その速度による移動ではなくその速度そのものを捉えて考える見方、これが微分という見方である。
そして、速度というのは絶えず変化しているものだから、その瞬間の速度というのは、有るとても短い時間の間の移動距離をその短い時間で割った物で代用しよう。という考え方
それを極限まで進めた物が微分ということになる。
現実の世界では、時間０で何かを測定することはできないから、どうしてもある一定の時間の測定にならざるを得ない。
では、その速度がそのまま結果に表れているものはなんだろうか。
それが自転車のライトである。
自転車のライトは、タイヤに接触した発電機が電気を発生させてそれで電球を点灯する。
発電機というのは、コイルの中を永久磁石が動くことで、電気を発生させるのだが、その発生される電気の量（電圧）はその永久磁石が動く速度で決まるのである。
だから、速度を上げると明るくなって、止まると消えてしまう。
これはまさに微分そのものを行っていると言っても過言ではない。
自転車のライトを見たら、がんばって微分しているんだなぁと感心してやってもらいたい。
以上の様に変化の仕方、変化そのものを捉えて考えるのが微分で、変化の結果、その総量を考えるのが積分
ということで、理解してもらえれば良いと思う。
どうだろう、この説明でなんか感じはつかめただろうか

数学の話を書いていて、やっぱりどうしても数式が書きたくなる。
数式を書かずに数学を進めるのはやっぱり難しい。
そこで、ｗｅｂページ上で数式を表現する方法を考えたが、いくつか考えられる。
一つは、何らかの数式エディターを使って式を作ってイメージを貼り付ける方法。
また、MathPlayerという数式表現に対応したIEのプラグインを使う方法
もう一つは、TeXで数式を書いて、DVIを使ってイメージにして、それを貼り付ける方法。
手元には適当な数式エディターが無いので、最初の方法はちょっと難しい。
MathPlayerはhtmlに直接書けばいいので楽では有るが、見る人にＭａｔｈＰｌａｙｅｒのインストールをしてもらわないといけないのが難点。
そこで、結局TeXを使って、数式を書いて、それをＤＶＩで表示し、画面をキャプチャーして表現することにした。
手元のサーバには、TeXがインストールしてある。
Windows上のXserverを使ってxdviを動かすことができる。
これで、とりあえず、イメージレベルの式を記述することができるようになったのだが、邪魔くさい・・・
１．TeXのソースを書く。
２．コンパイルしてDVIファイルを作る
３．それをXDVIで読み込んで画面に表示する。
４．ウィンドウをキャプチャーする。
５．キャプチャーしたイメージを画像エディターに貼り付けて、要らないところを消したりして加工する。
６．PNGで保存する。
７．ブログサーバにアップロードする。
８．ブログでリンクを張る。
・・・・
これだけの事をしないと数式が書けない。
間違っていたら一からやりなおし・・・
仕方ないとは思うけど、もう少しいい方法がないかなぁ。
同じ事はグラフでも言えるけど、もっといろんなことが簡単に書けたらいいのに。
ま、それほど数式を書くことが多いわけでもないから構わないんだけど、やっぱりね

前回、積分を使って、求めた式（等加速度運動の距離の式）で自由落下の物体の高さや速度を求めてみた。
今度は、もうすこし数学らしく、前々回の放物線の下の面積を区分求積法で求めるやり方から、y=x^2の積分を求める方法を考えてみたい。
前回、区分求積法で、徐々に目的の面積に近づける方法を説明した。
あのときの方法は区間をいくつかに分割してそのそれぞれの区間の面積を計算して足していった。
まず、区間を０から10としてみよう。
0から10の範囲を１０等分してその区間毎の面積を求めたい。
では、まず0から1の範囲は、幅が１、高さが１だから、面積は１
１から２の範囲では、幅が１、高さが４だから、面積は４
・・・
t-1からtの範囲では、幅が、１高さが、t^2なので、面積は、t^2となる。
これを全部足すと、前に出した式、n(n+1)(2n+1)/6=10×11×21/6=385となる。
さて、区分数を20にしたらどうなるだろう。
0から0.5までの範囲では、幅が0.5　高さが、0.25だから、面積は、0.125
0.5から1の範囲では、幅が0.5高さが1だから、面積は0.5
・・・
t/2-0.5からｔ/2の範囲では、幅が0.5高さが(t/2)^2だから面積は、0.5(t/2)^2
tを1から20まで動かせば、
0.5,1,1.5,2,2.5,3・・・,9.5,10
の範囲を動くことがわかってもらえるだろう。
数学的には、この式は、Σという記号を使って表現する。

これを計算するのに次のような式変形を行っていく。

すると、t^2を１から20まで足し算する式が出てきた。
この値は20(20+1)(2×20+1)/6=2870
なので、求める値は、2870/8となり、358.75となる。
さて、上記は分割数を20にしたときの式なので、分割数をnにしたときはどういう式になるだろうか？

これを計算すると

この結果を展開すると

となる。
この最後の式で、ｎが無限に大きくなることを考えると、分母のnやn^2が無限に大きくなって、これらの項は０になる。
よって、答えは、1000/3　つまり、10^3/3となるわけである。
この最後の「無限に・・・」という部分は厳密性に欠けるが、とりあえずめちゃくちゃ大きくなると、0になるという風に考えてもらえればいい。
ここでは範囲を10にしたが、範囲を任意のxにしたときどうなるかが以下の式である。

この一番最後の式で、xは一定の値なので、nを無限に大きくすると、最終的に

だけが残る。
よって、y=x^2 のグラフとｘ軸で囲まれる、0からxまでの範囲の面積は

となる。
どうだろう、区分求積法から、積分が出てきたというのが、ご理解いただけだろうか。
ここまで微分の知識は一切使っていない事に注意して頂きたい。
ちょっと式がごちゃごちゃしてきてわかりにくくなってしまったかもしれない。
もしわからないことがあったら、遠慮無くコメントしてほしい。

ここまで書いてきて、なんだか積分の説明をしている様な気がしてきた。
もともとの目的は生活に如何にに役立っているかという話しだったので、ちょっとそこに戻すことにする。
トリビアの泉の中で、トリビアの種というコーナーがあって、高いところからパチンコ玉を落としてフライパンにぶつけるという実験をしていた。
さて、パチンコ玉を高さ100mから落とし地面に到達したときの速度はいくらか？
また、何秒かかるか。
ということを計算することは可能だろうか？
前に等加速度運動の事を書いたが、そのとき、加速度aでt秒間進んだ時の距離は、(at^2)/2であると書いた。
この式を用いてみよう。
空気の抵抗や高さの精度、風の影響などは無視して計算することにする。
高さ100mから落下させるわけだから、地面に到達するまでの距離は当然100mである。
また重力加速度は、約9.8m/s^2（正確な値は場所によって異なる）なので
(9.8×t^2)/2=100
となる。
よって、これを計算するとt=4.52
つまり、約４．５秒で落下するわけで、そのときの速度は4.5×9.8=44.3m/s
時速に換算すると約時速160kmとなる。
テレビでは約時速130kmと言っていたが、これは空気抵抗などの影響だろう。
積分によって求まる式を使って、落ちてくるパチンコ玉の速度が計算できた。
では逆に、上空から落として、パチンコ玉が音速を超える為には、何メートル上から落とせばいいだろうか？
また空気抵抗を無視する。（音速あたりまで行くと本当は無視できないんだけど）
音速は、約340m/s
落下開始からt秒後の速度は9.8tだから、9.8t=340となるｔを求めることになる。
t=34.69
この間に進む距離は、9.8t^2/2なので5898m
上空5898mからパチンコ玉を落下させると地面では、パチンコ玉は音速を超える・・・
もちろん現実には、上空5898mまであがる事自体が難しいし、どこに落ちるかわかったものじゃないので
実験することはとんでもない話
また実際は空気抵抗などいろいろ有るので、本当に音速を超えることは無いと思う。
同様に東京タワーのてっぺんから、パチンコ玉を投げるとどうなるか。
簡単に計算すると、高度333mなので、8.24秒かかって、終端速度は80.8m/s
時速にすると291km/h
７００系新幹線を優に超えて、500系新幹線の最高速度に迫る勢いである。
こんなパチンコ玉には遭いたくない・・・
次回、区分求積法から、積分の式を出すのをやってみたい。
これまでも式はちらほら出てきているけど、もう少し式が増えるが大丈夫だろうか。

前回で積分を終わろうと思っていたけれど、やっぱりまだわかりにくいというかややこしいというコメントがあったので、
もう少し積分の話を続けようと思う。
前回、速度を積分すると距離になると書いたが、このイメージがつかみにくいのであろう。
では、速度を仕事の速さとしてみよう。
ここで、米粒を数える仕事があるとしよう。
彦一とんち話など人口に膾炙した各種とんちもので、ご存じだと思うが
月の１日から月末まで、１日目は１粒、二日目は２粒、三日目は４粒と毎日前日の倍の数だけの米をお殿様からもらうという話がある。
これは、31日目には、２の30乗という10桁の数になってしまい、とんでもない量になるという落ちなのだが
ここで、もうすこし少ない量で済む米粒にしてみよう。
１日めはやはり１粒
二日目は４粒（おいおい、上の例より多いじゃないか）
三日目は９粒（また多いぞ、本当に大丈夫か？）
４日目は16粒
５日目は25粒
６日目は36粒
７日目は４９粒
この法則は見てすぐわかるだろう、そう、日数の２乗になっている。
したがって、実は31日目でもたかだか961粒にしかならないので、お茶碗１杯にもならないかもしれない。
これでお殿様も安心だろう。
ちなみに前日の２倍にする方は、７日目についに64粒となって、２乗を追い越して、後は一気に引き離して、天に昇っていく。
さて、お殿様が安心な方で、最後の31日目までにもらえる米粒は合計何粒だろう。
前回、１＋２＋３＋・・・という計算は最初と最後を足していくと同じ数になるから簡単に計算できるという話を書いたが
今回はそうは問屋が卸さない。
答えだけ書くと、1から n までの２乗の和は、n(n+1)(2n+1)/6で表せるので10416となる。
この公式を導き出すのは面倒なので、とりあえずほっておく。
以下の図を見てほしい

これは、y=x^2のxが0から５の範囲のグラフである。
x=1のとき、y=1　x=５のときy=25となっているのがわかってもらえるだろうか。
縦軸と横軸は見やすくするために比率が変わっている。
この図の、灰色の部分の四角形の面積の和が、
１から５までの２乗の和になっていることはわかってもらえると思う。
この和は、1+4+9+16+25=5×6×11/6=55であることは明らかであろう。
さてこのとき、y=x^2のグラフの下の部分の面積はいくつになるだろうか？
前回はこの部分が直線だったので、単純に平均を取って足し算すると合計が一致して、めでたしめでたしだったのだが、今回はそうはいかない。
中点をとっても、その下の面積が曲線の下の面積と一致するとはどうも思えない。
ではどうすればいいのか。
仕方がないので分割数を増やしてみよう。
0.5間隔で分割して、それぞれの範囲の面積を求めることにする。

この図の黄色い部分の面積が求めるべき面積だということはわかってもらえると思う。
幅が0.5になっていることに注意して、高さと0.5をかけて足していく事になる。
この面積を計算するには、ちょっと手間がかかるので、計算機を使って、チョイチョイとやると48.125となる。
ちょっと先ほどの55よりは小さくなって、目標に一歩近づいたような気がするが、図を見てもまだまだだということは明らかだ。
さて、これを進めて、分割数を４にするとどうなるか
ちょいちょいと計算すると、44.84375
分割数を８にすると43.2421875
１６にすると42.451171875
そろそろ疲れてきた・・
一気にとばして、100分割だと41.79175
１０００分割だと 41.6791675
10000分割だと41.667916675
となる。
これではいつまで経っても答えがいくつになるかわからないのだが、
最終的な答えを先に出すと、この分割を無限に進めた場合、結果は、125/3=41.6666666・・・となる。
これがおおざっぱにいって積分の定義である。
つまり、変化する量がある式に従っているとわかっている場合
その式のある範囲の下側の面積（正確にはx軸と囲まれる範囲）を求めるのが積分であり、実は、これは、前回話をした、移動距離ということになる。
さて、この答え、125/3をみて何か感じないだろうか。
125=5^3である。
つまりこの答えは、5^3/3になっているのである。
0から5までの範囲の面積が、5^3/3・・・
ちょっとできすぎじゃないかと疑いたくならないだろうか。
じゃぁ、もしかして、0から10までだったら、10^3/3となるのか？
実はその通りになる。
つまり、0からaまでのy=x^2のグラフの下の部分の面積はa^3/3なのである。
この式を導くのが式演算としての積分ということになる。
ちょっとややこしくなるけど、次回この式を導いてみたい。