微分・積分・いい気分５

前回、積分を使って、求めた式（等加速度運動の距離の式）で自由落下の物体の高さや速度を求めてみた。
今度は、もうすこし数学らしく、前々回の放物線の下の面積を区分求積法で求めるやり方から、y=x^2の積分を求める方法を考えてみたい。
前回、区分求積法で、徐々に目的の面積に近づける方法を説明した。
あのときの方法は区間をいくつかに分割してそのそれぞれの区間の面積を計算して足していった。
まず、区間を０から10としてみよう。
0から10の範囲を１０等分してその区間毎の面積を求めたい。
では、まず0から1の範囲は、幅が１、高さが１だから、面積は１
１から２の範囲では、幅が１、高さが４だから、面積は４
・・・
t-1からtの範囲では、幅が、１高さが、t^2なので、面積は、t^2となる。
これを全部足すと、前に出した式、n(n+1)(2n+1)/6=10×11×21/6=385となる。
さて、区分数を20にしたらどうなるだろう。
0から0.5までの範囲では、幅が0.5　高さが、0.25だから、面積は、0.125
0.5から1の範囲では、幅が0.5高さが1だから、面積は0.5
・・・
t/2-0.5からｔ/2の範囲では、幅が0.5高さが(t/2)^2だから面積は、0.5(t/2)^2
tを1から20まで動かせば、
0.5,1,1.5,2,2.5,3・・・,9.5,10
の範囲を動くことがわかってもらえるだろう。
数学的には、この式は、Σという記号を使って表現する。

これを計算するのに次のような式変形を行っていく。

すると、t^2を１から20まで足し算する式が出てきた。
この値は20(20+1)(2×20+1)/6=2870
なので、求める値は、2870/8となり、358.75となる。
さて、上記は分割数を20にしたときの式なので、分割数をnにしたときはどういう式になるだろうか？

これを計算すると

この結果を展開すると

となる。
この最後の式で、ｎが無限に大きくなることを考えると、分母のnやn^2が無限に大きくなって、これらの項は０になる。
よって、答えは、1000/3　つまり、10^3/3となるわけである。
この最後の「無限に・・・」という部分は厳密性に欠けるが、とりあえずめちゃくちゃ大きくなると、0になるという風に考えてもらえればいい。
ここでは範囲を10にしたが、範囲を任意のxにしたときどうなるかが以下の式である。

この一番最後の式で、xは一定の値なので、nを無限に大きくすると、最終的に

だけが残る。
よって、y=x^2 のグラフとｘ軸で囲まれる、0からxまでの範囲の面積は

となる。
どうだろう、区分求積法から、積分が出てきたというのが、ご理解いただけだろうか。
ここまで微分の知識は一切使っていない事に注意して頂きたい。
ちょっと式がごちゃごちゃしてきてわかりにくくなってしまったかもしれない。
もしわからないことがあったら、遠慮無くコメントしてほしい。