微分・積分・いい気分３

前回で積分を終わろうと思っていたけれど、やっぱりまだわかりにくいというかややこしいというコメントがあったので、
もう少し積分の話を続けようと思う。
前回、速度を積分すると距離になると書いたが、このイメージがつかみにくいのであろう。
では、速度を仕事の速さとしてみよう。
ここで、米粒を数える仕事があるとしよう。
彦一とんち話など人口に膾炙した各種とんちもので、ご存じだと思うが
月の１日から月末まで、１日目は１粒、二日目は２粒、三日目は４粒と毎日前日の倍の数だけの米をお殿様からもらうという話がある。
これは、31日目には、２の30乗という10桁の数になってしまい、とんでもない量になるという落ちなのだが
ここで、もうすこし少ない量で済む米粒にしてみよう。
１日めはやはり１粒
二日目は４粒（おいおい、上の例より多いじゃないか）
三日目は９粒（また多いぞ、本当に大丈夫か？）
４日目は16粒
５日目は25粒
６日目は36粒
７日目は４９粒
この法則は見てすぐわかるだろう、そう、日数の２乗になっている。
したがって、実は31日目でもたかだか961粒にしかならないので、お茶碗１杯にもならないかもしれない。
これでお殿様も安心だろう。
ちなみに前日の２倍にする方は、７日目についに64粒となって、２乗を追い越して、後は一気に引き離して、天に昇っていく。
さて、お殿様が安心な方で、最後の31日目までにもらえる米粒は合計何粒だろう。
前回、１＋２＋３＋・・・という計算は最初と最後を足していくと同じ数になるから簡単に計算できるという話を書いたが
今回はそうは問屋が卸さない。
答えだけ書くと、1から n までの２乗の和は、n(n+1)(2n+1)/6で表せるので10416となる。
この公式を導き出すのは面倒なので、とりあえずほっておく。
以下の図を見てほしい

これは、y=x^2のxが0から５の範囲のグラフである。
x=1のとき、y=1　x=５のときy=25となっているのがわかってもらえるだろうか。
縦軸と横軸は見やすくするために比率が変わっている。
この図の、灰色の部分の四角形の面積の和が、
１から５までの２乗の和になっていることはわかってもらえると思う。
この和は、1+4+9+16+25=5×6×11/6=55であることは明らかであろう。
さてこのとき、y=x^2のグラフの下の部分の面積はいくつになるだろうか？
前回はこの部分が直線だったので、単純に平均を取って足し算すると合計が一致して、めでたしめでたしだったのだが、今回はそうはいかない。
中点をとっても、その下の面積が曲線の下の面積と一致するとはどうも思えない。
ではどうすればいいのか。
仕方がないので分割数を増やしてみよう。
0.5間隔で分割して、それぞれの範囲の面積を求めることにする。

この図の黄色い部分の面積が求めるべき面積だということはわかってもらえると思う。
幅が0.5になっていることに注意して、高さと0.5をかけて足していく事になる。
この面積を計算するには、ちょっと手間がかかるので、計算機を使って、チョイチョイとやると48.125となる。
ちょっと先ほどの55よりは小さくなって、目標に一歩近づいたような気がするが、図を見てもまだまだだということは明らかだ。
さて、これを進めて、分割数を４にするとどうなるか
ちょいちょいと計算すると、44.84375
分割数を８にすると43.2421875
１６にすると42.451171875
そろそろ疲れてきた・・
一気にとばして、100分割だと41.79175
１０００分割だと 41.6791675
10000分割だと41.667916675
となる。
これではいつまで経っても答えがいくつになるかわからないのだが、
最終的な答えを先に出すと、この分割を無限に進めた場合、結果は、125/3=41.6666666・・・となる。
これがおおざっぱにいって積分の定義である。
つまり、変化する量がある式に従っているとわかっている場合
その式のある範囲の下側の面積（正確にはx軸と囲まれる範囲）を求めるのが積分であり、実は、これは、前回話をした、移動距離ということになる。
さて、この答え、125/3をみて何か感じないだろうか。
125=5^3である。
つまりこの答えは、5^3/3になっているのである。
0から5までの範囲の面積が、5^3/3・・・
ちょっとできすぎじゃないかと疑いたくならないだろうか。
じゃぁ、もしかして、0から10までだったら、10^3/3となるのか？
実はその通りになる。
つまり、0からaまでのy=x^2のグラフの下の部分の面積はa^3/3なのである。
この式を導くのが式演算としての積分ということになる。
ちょっとややこしくなるけど、次回この式を導いてみたい。