微分・積分・いい気分

知人から、微分と積分が日常生活でどういうふうに使われているかというのを簡単に説明しろというリクエストをもらったので、
ちょっと書いてみたいと思う。
先に断っておくけれど、私は専門じゃないし、目的も簡単に説明するということなので、正確性、厳密性はちょっと犠牲にしている。
さて、微分・積分・良い気分♪♪♪　などと歌っている場合じゃないんだけど
まず、おおざっぱにいうと、微分というのはある値が変化する変化の仕方
積分というのは有る変化の仕方で変化したものの結果
と言えると思う。
あまりに抽象的すぎるので、もう少し具体的にしよう。
まず、簡単な算数の問題から
「太郎君は家をでて学校まで時速３kmの速度で歩いて行きます。
　学校まで10分でついたとすると、学校までの距離は何kmですか？」
当然、0.5km＝500mなのは自明だと思って良いと思う。
ところが、以下の問題だとどうだろう
「次郎君は学校からの帰りに学校から500mのところで犬に追いかけられて家まで走って帰りました。
　学校を出てから２０分後に家につきました。
　歩いていたときの速度が時速3km、走ったときの速度が時速12kmだったとき、
　学校までの距離は何kmですか？」
５００ｍまでは時速3kmなのだから、この間に10分かかる。
ということはその後10分間時速12kmで走ったのだから、その後に走った距離は2km
つまり学校から家までの距離は2.5kmであることがわかる。
ここまでは小学校の問題
しかし現実にはこんなことはあり得ない。
なぜかというと、止まっている状態から歩き出すにしても、歩いている状態から走り出すにしても
ましてや目的地で止まる為にも、速度が変わるためにはそれだけの時間がかかるはずだから、
一定の速度で移動するというのは本来不可能なのである。
そこで、加速度という物が考えられるようになった。
つまり、物の速度を変化させる変化の度合いを測ろうということになった。
次の問題はどうだろう。
「三郎君は、学校から家まで徐々に速度を上げながら走って帰りました。
　走り出して１秒に速度を秒速0.05ｍずつ上げていったとしたとき
　家まで３分でついたすると家までの距離は何mですか？」
この問題では１秒毎に速度が秒速0.05mずつ増えていく。
３分後には三郎君の速度は、180秒であるから秒速9mになっている。
この加速度は秒速0.０５ｍ毎秒となる。
これを記号で書くと、 0.05 m/ｓ^2 (s^2とは ｓの２乗　sの右肩に小さな2がついたもの、s×sのこと）
ところで、このとき家までの距離は、810mとなる。
さて、この数字はどうして出てきたのか？
実は、加速度 a　で加速したときのt 秒後の距離は (a×t×t)÷２で求まる。
ここに、a=0.05,t=180を代入して計算すると810となるわけである。
しかし、どうして、一定の加速度aで加速したときのt秒後の距離がこの式で表せるのか？
短い時間たとえば１秒間は、速度は一定と考えてたとえば1秒間だけ考えると
毎秒0.05m/sだけ加速していくということなので
スタートしたときの速度は0、スタートしてから1秒後の速度は0.05m/s
なので平均速度が0.025m/sだと考える。
同様に10秒後から11秒後までの１秒間の速度は、0.525m/s
100秒から101秒までの１秒間の速度は、5.025m/sと考えられる。
ということは、10秒から11秒までの間の１秒間に移動できる距離は、0.525m
100秒から101秒の間の１秒間に移動できる距離は、5.025m
となるのでこれを0から1、1から2・・・・179から180の180個の区間にわけて計算すると
0.025+0.075+0.125+0.175+0.225+・・・+8.925+8.975
となり、これを全部足し合わせると810になる。
良く見ると最後の数字と最初の数字を足すとちょうど9
最初から二つめと最後から二つめを足すとちょうど9
ずっとこれが続くので、全部で、180個の数字があるわけだから、9が180の半分90個有ることになり全部で、810となる。
この計算方法は区分求積法と呼ばれ、要するに、全体を小さな部分に分けてそれぞれの面積を求めて足し合わせるのと同じ事
これをもっと進めた物、つまり区分の数をどんどん増やして、最後は無限に分割してしまった上で足し合わせる計算を行うのが積分と呼ばれる演算になる。
積分の感じがわかってもらえただろうか？
とりあえず感じだけわかればそれで良いと思う。
その上で、実生活での活用について、次に書きたいと思っている。