にしんが大漁

なんで数学なのに「にしん」の話が・・・
えっと、にしんではなく二進数の話をしたいとおもいます。
口癖としてはあまり言ったことはないつもりなのですが、書き癖というんでしょうか、
「えっと」と「とりあえず」というのを多発します。
私の送信するメールでこれらの単語を検索するとほとんどのメールがひっかかるんじゃないかと思います。
で、そんなことはどうでもいいんですが
話は戻して
二進数のお話。
今回は実際に使われている場面というよりは、二進数というのはなんのかというのが分かるようにしたいと考えています。
もちろん実際に使われている例も出して説明したいと思っていますがそれだけじゃないってことです。
点字というのはご存じでしょう。読めないにしても存在は知っていると思います。
そう目の不自由な方が手で触って読むことが出来る文字のことです。
たとえば、点字で「あ」を表す文字は
●□
□□
□□
となります。（□は空白を意味しています）
母音を並べると
あ　　い　　う　　え　　お
●□　●□　●●　●●　□●
□□　●□　□□　●□　●□
□□　□□　□□　□□　□□
となります。
これを左上から、横に順に、上から下の順にならべるなおすと
あ　●□□□□□
い　●□●□□□
う　●●□□□□
え　●●●□□□
お　□●●□□□
という風になりますね。
●のところを１に□のところを０にして書き直すと
あ　１０００００
い　１０１０００
う　１１００００
え　１１１０００
お　０１１０００
となります。
さて、当然５０音が有りますからこれ以外の組み合わせもいろいろあるんですが
それはおいといて、みんな最後の３つは空白ですよね。
そこで最初の３つだけ取り出すと
あ　１００
い　１０１
う　１１０
え　１１１
お　０１１
さて、３つの１，０の組み合わせでこれ意外にはどんな組み合わせがあるでしょうか？
ちょっと考えていただければすぐ分かると思いますが
０００
０１０
００１
の三つだけが残っています。
つまり０，１を三つならべる方法は全部で８通りあるわけです。
これらの記号は点字としては存在するのでしょうか？
当然０００つまり全部０の場合は空白になります。
０１００００はかならず他の文字の前につけて、拗音（きゃ、きゅ、きょなど）の記号で
００１０００は何かの文字の後にかならず続く形で促音「っ」の記号になります。
これら１点の符号だと、単体で存在すると、「あ」と区別しにくいからなのでしょう。
さて、ここまで延々と点字の説明をしてきましたが、なぜこんな説明をしているかというと
この点字の考え方、つまり、文字を点の並びで表現するという考え方が
二進数そのものなのです。
０　０００
１　００１
２　０１０
３　０１１
４　１００
５　１０１
６　１１０
７　１１１
したがって、この数字を先ほどのルールに基づいて点字に戻すと
点字の「あ」は４　「い」は５　「う」は６　「え」は７　「お」は３、空白は０、拗音は２、促音は１
という風に成ります。
つまり、二進数というのは、点の並びで数を表現する方法だったのです。
もちろん、点字とは違って数ですから計算が出来ないと不便です。
そのためちゃんと並びに意味がついています。（説明の為に位置を桁と呼ぶことにします。）
一番右が１桁目、そこから順に左に向かって２桁目、３桁目と数えることにします。
では、この二進数で計算をしてみましょう。
まず簡単なところから、１足す１は？
当然普通は２ですが、点には種類が無いので、一つの点では２は表現できません。
どうしましょう。記号が０と１しかないんですから、仕方がありません。
５と５を足したとき、９より大きくなって困ったとき、仕方がないから上の桁に繰り上がりしたのをまねして繰り上がりするようにしてみましょう。
つまり、１と１を足すと１０となることにするんです。
この規則を一つつくるだけで、二進数の計算はすべて出来てしまいます。
たとえば５と３を足してみましょう。
５は１０１、３は０１１でしたから
１０１と０１１を足すことになります。
小学校で習ったとおり、下の桁から順番に足していくと
まず、１桁目は１と１ですから、さっきのルールで１０　一桁目は０
二桁目は０と１ですが、さっきの繰り上がりがあるから、やっぱり１０　二桁目も０
３桁目は１と０ですが、やっぱりまた繰り上がりがあるから、また１０　三桁目も０
そして、４桁目になって、三桁目からの繰り上がりの１だけがのこって、　４桁目は１
つまり、１０００となるわけです。
さて、３＋５は８ですね、
上の例では７までしか書いていませんでしたが、８は１０００となります。
答えが一致しましたね。
つまり二進数で表しても同じように計算ができて、ちゃんと答えが一致します。
さて、では１０進数ではなくなぜ２進数を使う必要があるのでしょうか。
それはルールが簡単だからです。
１０進数の計算をすることを考えると、３＋７でも、２＋８でも５＋５でも全部繰り上がりが発生します。
１桁の足し算の表を作ってみればわかりますが、結局１０＊１０通りの結果を必要とします。
（もちろん大人はそんなことはせず、自然に計算ができますが、小学１年生をみれば分かりますが結局すべての組み合わせを苦労して覚えています。うちの１年生がバカなだけかもしれませんが・・・）
ところが、二進数では、ルールは簡単です。
０＋０＝０、１＋０＝１、０＋１＝１、１＋１＝０と繰り上がりの１
という４つのルールで決まるのです。
これ以上のルールは必要有りません。
どうです？、簡単でしょ？
これなら小学生も簡単に覚えられるのではないでしょうか。
また、かけ算になるともっと簡単です。
１×１＝１だけができればいいんです。
他は全部０になります。
実際にやってみましょう。
たとえば、３×５　当然１５ですね。
２進数では　０１１×１０１
ちょっと文章で書くと長くなりすぎるので筆算でやってみます。
　　　　　０１１
×　　　　１０１
－－－－－－
　　　　　０１１　　　上の０１１に下の一桁目の１をかけて
　　　　０００　　　　上の０１１に下の２桁目の０をかけて
　　　０１１　　　　　
－－－－－－－
　　　　１１１１　　　上から順番に足していくと
１１１１というのは、１０００＋１１１で、８＋７ですからちゃんと１５になっています。
ほら簡単でしょ？
これなら１年生にだって簡単に覚えられるんじゃないでしょうか。
九九に苦労する必要も有りません。あえて言うなら一一でしょうか、
さあご一緒に「いんいちがいち」、あ、終わってしまった。
今すぐすべての数を二進数に統一しましょう。・・・(^^)
では、二進数がすべてにおいてわかりやすいかというと、表現するのに必要な桁数が膨大に増えるのです。
10進数に比べると約３倍以上の桁数を必要とします。（正確には３．３２・・・倍です）
パソコン98,000円というのが　10,111,111,011,010,000円となってしまって
何がなにやら、毎日国家予算並の桁数を数えなければなりません。
これだけ長いと点を打っても全然わけがわかりませんね。
もし二進数で国家予算を表すとどうなってしまうでしょう。
平成１６年度予算が821,109億でしたから
１０進数で表せば、82,110,900,000,000 これでも桁を数えないと訳が分からないのに二進数で表すと10,010,101,010,110,111,101,111,000,001,101,101,010,100,000,000
・・・なんでしょこれ・・・ほとんど何かの模様となってしまいますね。
やっぱり１０進数の方が幸せですね。　九九くらいなら我慢しましょう。
でも逆にコンピュータにとってみれば、桁数なんて、多くてもたいしたことありません。
彼らは単純作業を繰り返すのは大変得意なのです。
それより、難しい判断をしたり、条件がたくさんあることを考える方がよほど大変なんです。
だから、コンピュータでは２進数が使われる？・・・
うーん、もっと大元の理由があるような気が・・・
閑話休題
アメリカの貨幣単位はドルでその１００分の１がセントというのはご存じでしょう。
ではイギリスの貨幣単位はご存じでしょうか、ユーロというのは間違いで、今でもポンドを使っています。
ポンドの補助単位はペンスで１ポンドが１００ペンスとなります。
がしかし、ほんのつい最近１９７１年までイギリスの貨幣単位は
１ポンド＝２０シリング
１シリング＝１２ペンス
つまり、１ポンドが２４０ペンスです、
それ以外に
１ギニー＝２１シリング
１ポンド＝４クラウン
などという単位も有ったのだそうです。
もうわけがわかりませんね。
ハリーポッターを読むと、魔法の世界のわけの分からないの貨幣単位が出てきますが、これは昔のイギリスの貨幣単位を皮肉ったものだったのですね。
まぁ日本でも、江戸時代まで１両は４分、１分は４朱、文（銭）については変動相場・・・いくらになるか決まってない？
という状況でしたからあまりかわるわけじゃないんですが
しかし、いまだにインチだの、フィートだの、ポンドだの・・・変な単位系を使い続けているアメリカにはかなわないかもしれないですけど
次回８進数、１６進数のお話をちょっとかじってから、ビット、バイトなどの話に進みたいと思います。